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    聚焦生长特征,关注思维发展——基于初中数学生长教学的思考

    时间：2023-04-17 11:00:04 来源：东东创业网 本文已影响人 东东创业网手机站

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    沈莹琪，褚水林

    （浙江省湖州市行知中学；
    浙江省湖州市南浔区教育教学研究和培训中心）

    著名教育家杜威认为，教育即生活，由于生活是一个发展过程、生长过程，所以教育即生长.在新课程改革背景下，课程目标也发展到了现在的核心素养.在核心素养视角下，目标立意更注重知识、方法、能力、思维、态度的统合与生长.因此，当下的教育教学应顺应社会和学生的发展，以生长、发展的眼光去培养学生的必备品格和关键能力.对此，卜以楼老师提出了“生长数学”理念，主张让学生学习具有生长力的数学.“生长数学”的实质是指以数学知识结构、思维方法、重要思想的生长形态与方法来建构数学课堂结构、形态的生长.褚水林在文献［3］提出了生长型复习课的基本内涵和范式，并对生长路径进行了详细阐述.于是，众多数学教师进行了生长型课堂的教学实践.那么，“生长”是否就是“变式”？如何进行生长教学才能有效提升学生的思维能力？本文中，笔者结合浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“浙教版教材”），就这一话题谈几点思考，以期与同仁探讨.

    系统性思维是把物质系统作为一个整体加以思考的思维方式，对人们认识、研究复杂的事物具有重要意义.发展学生的思维系统性，需要在教学中培养学生以整体的视角理解数学知识的本质.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出，数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性.特别是在核心概念的教学中，如果教师进行结构化地生长教学，建构好与核心概念关联的知识网络，那么学生便能了解并理解“为什么会有这个知识点？”“这个知识点与其他知识点有什么关系？”“接下来将学习什么知识点？”等，从而厘清核心知识的内涵与外延，分清整体与局部的关系，掌握知识之间的结构体系.通过知识的生长过程，学生能拾级而上，形成“一览众山小”的体验，从而看清数学知识的本质.

    案例1：分式方程.

    在浙教版教材七年级下册“5.5分式方程”一节有以下一段文字.

    “必须注意的是，解分式方程一定要验根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程两边所乘的公分母，看分母的值是否为0.使分母为0的根我们说它是增根.”

    这样一段简单的文字中出现了一个新的概念——增根.对于七年级学生来说，难以理解的是它与“方程的根”有什么关系.在作业中又会出现“分式方程无解”的情况.例如，这样的一道习题：已知关于x的分式方程无解，求实数m的值.我们知道，分式方程需要转化成整式方程才能进一步求解，而七年级学生学过的一元整式方程只有一元一次方程，且最多只有一个解（初中阶段默认为实数解），所以一旦分式方程出现增根，那么该分式方程就会无解.在这样的背景下，如果教师照本宣科，学生就会默认一个错误的结论：如果分式方程有增根，那么它就无解.从问题的根源来讲，学生根本没有弄清楚“分式方程的根”“分式方程的增根”“分式方程有解”和“分式方程无解”这四个概念之间的关系.

    笔者通过所在区域的各级初中数学教研活动了解到，有很多学生存在这样的问题.为了解决这一问题，教师需要从“生长”的视角重构本节课的教学，聚焦生长的结构性，建构分式方程的知识体系，并适当地补充一些简单的一元二次方程等会出现多个实数解的一元整式方程，以思维导图（如图1）的形式让学生清晰地了解与分式方程关联的知识结构网，让学生更好地理解相关概念之间的联系与区别，从而系统地认识和理解“整式方程”和“分式方程”这两个核心概念及相关知识.在这样的整体视角下，学生也能更加清晰地理解“分式方程无解”的本质.

    图1

    数学学科具有高度的抽象性和严密的逻辑性，数学学习必须通过思维去把握.思维的逻辑性培养很大程度上取决于教师在课堂中是否营造了“思维必然”.教材中大部分的数学结论都给出了合情推理或演绎推理的过程，教师则需要在教学中引导学生经历观察、猜想、验证、归纳的过程，让学生感受结论的自然生长和生成.但由于学生知识水平的限制，有些结论便由教师直接给出了.面对这样的情况，教师也应该从“生长”的视角出发，以育人为根本目标，聚焦生长的自然性，搭建“脚手架”，营造思维必然，发展学生思维的逻辑性.

    案例2：一次函数的图象.

    在浙教版教材八年级上册“5.4一次函数的图象”一节有以下一段文字.

    “由此可见，一次函数y=kx+b（k，b都为常数，且k≠0）可以用直角坐标系中的一条直线来表示，这条直线也叫做一次函数y=kx+b的图象.”

    在浙教版教材中，“一次函数在坐标系中的图象是一条直线”这个结论其实是在学生描了5个点后，通过观察发现5个点几乎共线的情况下直接给出的.这一过程看似合情合理，但八年级学生已经具备了一定的演绎推理和证明的经验，他们在遇到5个点几乎共线的情况下，仍然会思考“这5个点一定共线吗？”“可以证明吗？”等一系列质疑这个结论是否严谨的问题.如果教师忽略这个生长节点，默认“一次函数的图象是直线”，势必会造成学生思维链的断裂.学生将带着疑问且机械地用“两点法”画一次函数的图象.

    如何解决这一问题？笔者认为，教师应该聚焦结论的自然生长，适切地为学生搭建思维的“脚手架”.本案例中，教师可以引导学生对一次函数y=kx+b（k＞0）形成这样的理解：每当x增加（减少）n（n＞0）个单位长度时，y总是增加（减少）nk个单位长度，并将这样的理解赋予“形”的解释.如图2，AB∥CD∥Ox，BC∥DE∥Oy，AB=CD=n，BC=DE=nk，根据“SAS”可以判定△ABC≌△CDE，那么∠A=∠ECD，从而得∠ACB+∠BCD+∠ECD=180°，即A，C，E三点共线.由于n具有任意性，依此类推，函数y=kx+b（k＞0）的图象是一条直线.

    图2

    这样的启发和引导，既考虑了学生的认知水平，又顺应了结论的自然生长，让学生理解了一次函数的图象为什么是一条直线.同时，让学生在经历从变量同幅度增减到图象以直线呈现的过程中，发展了思维的逻辑性和深刻性.

    创造性思维是以感知、记忆、思考、联想、理解等能力为基础，以综合性、探索性和求新性为特征的高级心理活动.在数学教学活动中，教师常用类比、变式等方式引发学生进一步思考，试图发展学生思维的创造性.而这一目标的落实，其根本在于学生具有自主类比、探究的意识和能力.“生长数学，生命成长”的视角强调学生数学学习既是知识、方法、经验、思维生长的过程，更是学生生命体成长的过程.教师的教学应该通过环境创设、氛围营造、问题聚焦、活动组织等途径，唤醒学生的生长意识、激发学生的生长动力、积聚学生的生长潜能，实现学生的知识、能力、情感、态度、价值观等自发、自由、自主地生长.然而，知识点的教学要以数学课程标准和教材为依据，需要教师的引导和组织才能完成，学生在这个过程中自主生长的空间有限，而例题和习题的可改编性强，可挖掘的价值大，学生自己也可以进行创编.因此，例题和习题的变式教学成了学生自主生长的主要阵地.

    案例3：相似三角形的性质及其应用.

    在浙教版教材九年级上册“4.5相似三角形的性质及其应用（3）”一节中有以下一道课后练习题.

    如图3，有一块三角形余料ABC，它的边BC=120 mm，高线AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.问加工成的正方形零件的边长为多少？

    图3

    该习题可挖掘的价值很高，2014年中考浙江绍兴卷第20题就是基于此题进行改编的.正因为如此，笔者观摩的“相似三角形的应用”的复习课中，几乎每一节课都会引用此习题.有的教师将此习题进行纵向变式，将三角形内的正方形PQMN弱化成矩形，然后利用相似三角形和二次函数的性质解决矩形面积的最值问题.究其原因，是因为这样的变式从特殊到一般，由静到动，层层递进，渗透了建模、转化等思想.但这样的变式教学仍然由教师在主导，学生只是在教师设定的“变式1”到“变式n”之间来回“刷题”，强化知识点而已，学生的思维缺乏发散性和创造性.这样缺乏自主生长的教学，终究无法落实数学育人的目标.

    在一次研修活动中，笔者以培养学生的自主生长能力为目标执教了一节探究课——内接正方形的生长探究.这节课以这道教材习题引入，在学生回顾该习题的解决思路后，笔者让学生针对该题再提出一个疑问.其中有如下三个问题比较有探究价值.

    （1）为什么已知三角形的底和高就能求出内接正方形的边长？是否存在一个公式？

    （2）在一个已知的三角形中，不通过计算，怎样才能画出这样的正方形？

    （3）如果将这个外接三角形改为扇形，那么这个内接正方形的边长该怎么求？

    在这节课中，笔者选取了问题（1）和学生一起进行了探究学习，从特殊到一般地归纳出了三角形的底和高与正方形边长之间的数量关系，并在课后让学生继续探究其余两个问题.

    相比前一种教学，这样的教学方式更突出以学生为主体.教师主要创设环境、营造氛围，引导学生从不同的角度发现问题、提出问题，激发学生的生长潜能，而当学生自发、自主地提出问题时，这便是一种“思维必然”.由于思维的差异性，学生的自主生长探究会更具层次性，摆脱了固定模式的变式，学生的思维生长也更具发散性和创造性.

    “生长数学”理念以育人为根本，顺应课程改革和时代发展，以“生长数学，生命成长”的视角重构初中数学教学具有重要意义.在基于“生长数学”的教学过程中，教师要以发展学生的思维为目标，凸显数学教学的育人价值.在教学过程中，教师应该深入研究教材，在教学中聚焦生长的结构性、自然性和自主性，让学生理解知识的发生、发展过程，以整体的视角看清数学知识的本质，并自主探索求新，从而发展学生思维的系统性、逻辑性和创造性.

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