初中数学一次函数教学设计

时间：2021-05-06 13:11:38 来源：东东创业网 本文已影响人

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摘 要 在初中数学上，一次函数是及其重要的存在，它是整个函数领域的开篇，所以一次函数的掌握情况，直接影响着后续其它函数的学习。在一次函数的教学过程中，如何进行教学设计，才能提高教学质量，使学生真正理解函数的概念，掌握用函数解决问题的基本技能，是本文主要的研究问题。本文首先通过对三大版本教材中一次函数的版块进行对比分析，并对学生学习情况，知识结构等进行了解分析，然后根据学生认知水平对函数一章进行单元目标制定，最后针对实际情况，参照教学标准给出一次函数的教学设计。希望能对一次函数的教学起到帮助。

关键词：初中数学、一次函数、教学设计。

Abstract The primary function is very important, in junior middle school mathematics.It is the opening chapter of the whole function field, so the mastery of the primary function directly affects the subsequent learning of other functions. In the course of teaching a function, how to carry out teaching design can improve the quality of teaching, so that students can truly understand the concept of functions and master the basic skills of solving problems with functions. This is the main research problem of this article. This article firstly makes a comparative analysis of the primary function sections in the three major textbooks, and analyzes the students ＇learning situation and knowledge structure, and then formulates the unit goals of the function chapter according to the students＇ cognitive level. , The instructional design of linear function is given with reference to the teaching standards. I hope it can help in the teaching of linear functions. Key words：Junior high school mathematics、Linear function、instructional design. 目 录 1 引 言 1 2 初中数学一次函数教学设计的整体分析 2 2.1 教材分析 2 2.2 学情分析 3 2.3 教学目标 3 2.4 教学建议 4 3 教学过程的设计 5 3.1 函数的定义 5 3.2一次函数与正比例函数 8 3.3 一次函数的图象 10 3.3.1 一次函数图象（1） 10 3.3.2 一次函数图象（2） 13 3.4 一次函数的应用 15 3.4.1 一次函数的应用（1） 16 3.4.2 一次函数的应用（2） 19 致 谢 22 参 考 文 献 23 1 引 言 在初中数学学习中，函数部分占着很重要一部分，而一次函数就是第一个所要学习的函数，所以对于一次函数的理解掌握直接影响着今后其它函数的学习。如果学生在学习一次函数时可以学习函数的概念以及数形结合的思想，并且可以找到函数问题的解决方案，那么可以将这种数学素养应用于将要接触的函数。所以，为了能达到期望的教学效果，教学设计是必不可少的。在《义务教育数学课程标准》中，对于一次函数内容的学习也是极其重视，还对学生学习一次函数提出了几点要求[1],由此可见，一次函数在初中数学中所占的地位是不容小觑的。

有研究表明学生初次接触到函数这一概念时，在认知上往往会存在一定障碍，而导致学习上的困难[2]，如何使学生能够对一次函数概念有更好的理解，能够掌握一次函数的相关知识，这就需要对学生的认知结构进行研究，只要根据学生实际情况设计的教学实际才能达到教学效果，从而使学生能够通过一次函数概念的形成引发思维水平上质的飞跃，并导致其由形式逻辑思维的范畴进入到辩证思维的发展阶段[3]。

本文通过对不同教材中一次函数的版块进行充分对比分析，并对学生学习情况，知识结构等进行了解分析，然后进行教学目标的制定以及教学方法的研究，根据实际情况采取的教学手段，针对学生在学习一次函数中碰到的问题进行分析，改进教学方法，并提出我个人的一些建议，最后给出一份比较具体完善的一次函数的教学设计。

2 初中数学一次函数教学设计的整体分析 2.1 教材分析 义务教育对于教材版本的选择不同地区有不同的版本，本文仅对“北师大版”、“人教版”、“苏教版”三个版本进行对比分析。

2.1.1 “北师大”版的分析 “北师大”版一次函数在八年级上册第四章，在一次函数这一章节中设有较多栏目，丰富的栏目也给学生带来了不同的学习体验感，能够提高学生的学习兴趣。“北师大”版主要通过与生活贴近的问题情境出发引出新的知识，同时有各种思考栏目来进行对新知的探索，每小节和每个章节后都设计了较多练习题进行巩固，就一次函数部分设计了8道例题，随堂练习12道，习题36道，复习题18道。

2.1.2 “人教”版的分析 “人教”版中一次函数内容放置于八年级下册第19章。在“人教”版教材中有：思考，探究，归纳，阅读与思考，信息技术运用，联系等栏目。在各栏目中，思考栏目出现最多，根据不同的问题，能给出不同的思考。探究栏目的设计是让学生通过小组活动进行讨论，研究，从而能够提高学生自主学习的能力和发现问题的能力。归纳栏目是学习新知识后，对知识点的概括，引导学生进行归纳，建立属于自己的学习认知结构。阅读与思考栏目提供了现实生活中数学的应用，及许多有趣的数学及数学家的故事，信息技术运用栏目在函数图象的学习上，信息技术的辅助更有助于学生直观感受到变量之间的关系。数学活动栏目则要求学生动手实践，发展学生的实践能力。在例题练习的编排上，“人教”版一次函数部分安排了9道例题，20道练习题，30道习题，15道复习题。

2.1.3 “苏教”版的分析 “苏教”版中在八年级上册第6章，它的栏目设计是三个版本中最多的，其中加入了许多新的学习方式的栏目，如：思考，交流，分析，归纳等，提倡学生自主研究学习，注重学生为主体，老师为主导的原则。在习题的安排上，一次函数部分总共有6道例题，21道练习，29道习题，13道复习巩固。

2.1.4 对比结论 三版本都重视函数的概念的历史发展顺序：变量说，对应说，关系说。有变量到函数关系一步步深入。

在具体内容上，三个版本的对比[4]：(1)在概念的介绍中，三个主要版本都集中在概念的介绍上，并通过特定且有趣的问题场景引出一次函数的概念。(2)在一次函数图像和性质的内容布局方面，知识点的解释没有采用直接得出结果或结论的方法，而是通过实践中的问题，学生可以通过操作和独立探索来探索和获取相关知识。(3)关于数学思想的渗透，三个主要版本都强调了各种数学思想的渗透，例如归纳，类比，数形结合，分类和归纳等。

2.2 学情分析 一次函数是从常数数学研究到变量数学的象征，它对学生的思维能力，学生数学思维的变化以及对数学理解的飞跃进行了很好的考验。

初中生一次函数认知主要处于多元结构水平，也即是中等水平，部分学生只能达到前结构水平和单一结构水平，较少学生能达到关联结构水平，而能达到拓展抽象结构水平的学生少之甚少[5]。一次函数学习时，学生可以通过简单地应用待定的系数方法求出一次函数并直接使用图像特征来确定问题的特征，从而基本解决这些简单的问题，但是基于他们所学的知识，会随着时间的流逝，问题情况变得复杂起来，这时很明显，一次函数的知识还不够深入，他们中的大多数都停留在感知性知识较多，理性知识较少的情况，并且可以直接应用一次函数的解析式函数，但一次对函数的解析式与图像的内部联系运用较弱。

2.3 教学目标 制定教学目标是进行教学设计的重要部分，没有教学目标就好比如航海的船没有了行驶方向，所以好的教学设计少不了好的教学目标。

一般设计教学目标的步骤为:(1)参照《课程标准》；
(2)对单元目标明确；

(3)明确教学的具体内容和要求;(4)了解学生的基础和学习特点；
(5)按照内容和水平分类确定教学目标并加以陈述[6]。

2.4 教学建议 戴旭在 《八年级学生一次函数学习存在的问题及原因分析》中总结出以下几点[7]：1、八年级学生一次函数概念组成缺乏认识，一次函数表达式中字母代表的含义不明确，不了解字母的取值范围；
2、八年级学生一次函数数形结合思想薄弱；
3、八年级学生一次函数知识体系和逻辑关系欠缺。

针对以上问题，在教师教学上我提出一些个人见解：1、为了让学生实质上理解一次函数表达式是一个动态的变化过程，教师可借助多媒体工具来演示，从而使学生理解k是斜率一个均匀变化的量，b是一个固定的量，使学生能够直观的把抽象事物转化为具体；
2、为了加强学生数形结合思想，教师用多媒体把一次函数表达式在坐标系中展现出来，准确描述一次函数的定义，字母变量的含义，强调图象形成的过程，表达式与图象之间的关系要不断强调清楚，使学生在观察图象时不断加深对于字母与变量之间的理解；
3、教师在每次授课前要对上一节内容进行回忆，加深知识的连贯性，在练习巩固中也要多强调提醒，促进学生知识体系的建立。

3 教学过程的设计 本章主要根据第二章所作出的关于初中数学一次函数的教学建议，针对初中数学一次函数这一章（以“北师大”八年级上册一次函数整章）进行教学设计的撰写。

3.1 函数的定义 本节，主要引导学生在之前所学的两个变量之间的关系上进行判断函数关系，主要对七年级下册所学变量之间的关系进行复习，由变量之间的关系引入本节课知识点，并通过探究活动等形式，使学生理解函数概念。教学设计如下。

教学目标：掌握函数的概念，判断函数关系，可以根据已知量找到相应的另一个量；
要探索一次函数的表示方法，可以了解函数的三种表示方法；
要培养学生的思考能力和探索勇气，激发学生的学习热情。

重点难点：重点：理解函数的概念，判断两个变量间是否是函数关系；
难点：用函数解决实际问题。

教学过程如下：
一、知识衔接，引入新知 问题1：弹簧挂的重量和弹簧的长度之间的关系？走的路程和时间的关系？ 设计意图：在学习函数之前，回顾两变量之间的关系，为判断它是否是函数关系铺平了道路。这个问题的设计，结合实际生活，是生活中的普遍现象。通过这两个问题，引入新课，这有助于学生复习旧知识，系统地构建新知识。

问题2：同学们坐在摩天轮上离地面的高度会随着时间的变化而怎么变化呢？下面是离地面高度h和时间t之间的变化曲线图，观察下图，说说看变化的量？在t取 2，6，10时，相应的h是多少？任意一个t值，你都能找到相应的h值吗？ 设计意图：通过学生熟悉的摩天轮上一点的位置与地面关系的变化情况出发，学生在这题上能发现改变的是两个量，并且这两个量存在着某种关系，通过所给的关系图上，可以发现不同时间都有一个对应的高度，在学生接触函数前给予一个这样的认识。

问题3：小明同学把积木按照下面的方法堆放，同学们能把一层到五层的积木总数用表格形式表示出来吗？ 设计意图：堆积木问题也是比较贴近学生生活的问题，通过不断变化的层数，积木的总数也会随之变化，确定的层数都有一个相应的总数，该题主要引导学生找规律的同时，把层数与总数之间的关系用表格形式表示出来。

问题4：我们知道某两个物理量之间的数量关系是：T=t+273,T≥0。（1）当t分别等于-40，-73，0，27时，求所对应的T？（2）当T≥0的条件下，给定t的值，求出相应的T值？ 设计意图：该题是一个物理规律题，通过所给关系式，把确定的量代入关系式就能求出另一个量，并且两个问题的设计上由浅及深，不仅使学生明白两个量之间存在的关系，而且这种关系的存在有些时候需要在某种条件满足时才成立。

二、概念总结 问题：以上三个问题有什么共同处？我们还能知道函数可以怎么表示？什么是函数？ 设计意图：在学生谈论思考后，教师对于一次函数的概念进行总结。通过学生的比较和思考，学生发现上述问题是两个变量之间的关系，只要给出其中一个量，就可以得到相应的量。并且三个问题通过图象法、列表法、关系式法进行表达，使学生了解函数表达方式不仅仅只局限于一种。

三、讨论思考 问题1：陈老师开车以60km/h的速度行驶，设所走过的路程s,时间为t。在1h,2h,3h,4h后汽车行驶的路程分别是多少？t小时呢？ 设计意图：从速度，时间和距离之间的熟悉关系开始，不同的学生对问题有不同的解决方案。可以使用三种方式来表示变量之间的关系。在速度确定的情况下，学生很容易根据已知量，找到另一个量，以进一步加深学生对函数定义的理解。

追问：上述问题中变化的量是？不变的量是？它们之间有什么关系呢？ 引出变量与常量的定义：
设计意图：在找出关系时，发现变量和常量之间的差异，从而导出变量和常量的概念。

问题2：小组谈论，说说下面出现的变量和常量？（1）圆的面积s与半径r之间的关系是s=пr2。（2）某场电影门票45元一张，观看人数为x人，电影院收入为y元。

设计意图：对于这题的设计上，让学生学以致用，加深变量与常量的认识，该题会存在着部分学生对п是变量还是常量的疑惑，所以紧接着让学生思考该如何来判断变量与常量。

追问：如何判断问题中一个量是变量还是常量？ 设计意图：对于这个问题学生可能存在着争议，有的认为看是否会发生变化，大部分学生会看是否用字母表示来判断变量。这时，教师应纠正学生的误会，并可以加一些字母来表示常数的问题。

四、巩固练习 例题一：丁丁骑车的速度是18千米/时，他走过的路程s与时间t之间的关系？s是t的函数吗？问题中常量和变量分别有哪些？ 例题二：小明的爸爸想在靠墙的位置围一块面积为8平方米的菜地（三面），篱笆总长10米，设围成长为x，宽为y。y与x是函数关系吗？问题中变量和常量分别有哪些？ 设计意图：设计两道对于所学知识能起到检测与巩固作用的例题，题目无需复杂，应由简到进一布深入，增强学生的自信心，教师对例题进行讲解，可挑选不同做法的学生答案进行演示，发散学生思维，对于存在的问题及时进行指导改正。

五、课时小结 问题：今天学到哪些知识，谈谈你们的收获？ 设计意图：指导学生总结本课的知识点和数学学习方法。教师可以完善和补充，这可以帮助学生提高学习成就感并建立知识体系。

3.2一次函数与正比例函数 本节是基于函数的概念基础上，对于一次函数与正比例函数进行引用，学生是否能够理解一次函数的概念直接影响着后续函数性质的研究。具体教学设计如下。

教学目标：理解概念，根据条件写出表达式；
通过实际问题的探究中，发展解决问题的能力；
激发学生学习兴趣，树立学习自信心。

重点与难点：重点：理解概念，根据已知信息写出表达式；
难点：一次函数知识的运用。

教学过程如下：
一、复习旧知 问题：什么是函数?函数有哪些表示方式?如何区分变量和常量? 设计意图：温故知新，对上节课知识掌握的同学起到复习巩固的作用，对于仍然存在疑惑的学生有着梳理的作用，对于一次函数及正比例函数概念的引入起到铺垫作用，并且有助于学生对于新知与旧知的关系进行系统知识体系的构建。

二、新课导入 问题1：自然状态的弹簧长2cm,在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm。(1)用表格形式表示所挂物体的质量分别为1kg、2kg、3kg、4kg、5kg时的弹簧长度。(2)写出x与y之间的关系式吗? 设计意图：首先根据题目信息，把关系用表格形式表示出来，从中发现规律，再根据x与y之间的关系，用表达式表示出来，培养学生对知识的应用，以及从问题中提取信息的能力。

问题2：李老师要到某地出差,启动前油箱里还有油93L,车每行驶50km耗油9L，把行驶50km、100km、150km、200km、300km时分别对应的油箱剩余的汽油量用表格表示？用x表示行驶的路程, y表示油箱剩余油量，求x与y之间的关系式？说出x的取值范围?剩余油量y呢? 设计意图：从实际问题出发，根据题目给出的条件求出x与y的关系式，并且问题进一步深化，思考变量的取值范围，因为现实生活中很多限制因素，这道题就是油箱的油量为限制因素，使学生体会到数学与生活的紧密联系。

三、探索新知 问题：以上两个问题有什么共同点吗？ 设计意图：通过问题的探讨对比和研究，使学生发现解析式的本质共同点，对一次函数的概念理解有更好的帮助，在学生讨论总结后，教师对于一次函数及正比例函数概念进行归纳。

四、讨论思考 问题1：(1),(2),(3),(4),(5) 一次函数有哪些？正比例函数？ 设计意图：学生对于这道题的解答中，往往忽略正比例函数与一次函数之间爱的关系，把（3）没有归纳到一次函数中，学生忽略了正比例函数与一次函数之间的关系，教师在此应进行说明强调。

问题2：若函数是一次函数,则应满足的条件是 ；
若是正比例函数,则应满足的条件是 . 设计意图：使学生掌握一次函数解析式的条件，对于这道题第一空只要6+3m≠0就行，第二空既要6+3m≠0还要4n-4=0，这道题能够再次对概念进行剖析，对概念的理解更深入。

问题3：当= 时,函数是关于的一次函数。

设计意图：深入剖析解析式，探索满足一次函数表达式的条件，本题要满足k+3≠0且k2-8=1，使学生不断巩固对一次函数的认识，及成为一次函数的条件的认识。

五、练习巩固 例1 写出下列各题中与之间的关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?(1)当汽车行驶速度固定为akm/h,行驶路程y 与行驶时间x 之间的关系；
(2)圆的面积s与它的半径r2之间的关系；
(3)班级组织植树活动，小明种了一棵高30厘米的树，若每个月树长高2厘米，x个月后树的高度y之间的关系。

设计意图：通过丰富的问题情景，让学生进一步了解一次函数的概念，并且培养学生解决问题的能力，及学习自信心，能够根据简单的问题写出变量之间的关系式。

六、课堂小结 问题:对所学内容进行概括，并且谈谈自己的体会？ 设计意图：让学生谈谈自己的收获，进一步巩固一次函数及正比例函数的概念，加深对概念的理解，提高学习成就感。

3.3 一次函数的图象 对于一次函数的图象研究，一共分成了两课时，先对正比例函数的图象研究，掌握正比例函数图象的性质，再对一次函数图象进行研究，并结合两种函数图象，发现它们的异同点，有利于建立知识体系。

3.3.1 一次函数图象（1） 本节课主要学习正比例函数的图象，为活动探究类型的课，通过让学生学会绘制函数图像，从图像中找到比例函数图像的特征，并了解公式与图像之间的一一对应关系。在这节课的教授上，教师应尽量借助多媒体，给学生演示出图象的变化过程，让学生体会到函数是一个动态变化过程，理解表达式中各个字母对函数图象的影响。

教学目标：能够画函数图象，理解正比例函数性质；
经过操作画图过程，掌握画图步骤；
培养学生实践能力，发展数形结合思想。

重点和难点：重点：了解画函数图象的一般步骤；
难点：理解一次函数的表达式与图象之间的一一对应关系。

具体教学过程如下：
一、复习引入 问题1：什么是一次函数？什么是正比例函数？ 设计意图：使学生对上节课知识理解到位，为接下来研究函数图象起到铺垫作用。

问题2：观察并且讨论书本例一，并提问这是什么函数，它的图象有什么特点。

设计意图：该图象是简单正比例函数的图象，通过观察图象学生不难发现这是一条经过原点的直线，并且通过该题的研究使学生了解到画函数图象的一般步骤，学生根据例一总结出画图三步骤：列表，描点，连线，了解函数表达式和图象之间的关系。

二、动手操作，合作探讨 操作题1：作出正比例函数y=3x的图象。

设计意图：在通过上一题学生了解到画图的三个步骤，需对所学知识进行动手操作才能加深认识。

问题1：每个小组从所作图象中任取几个点，小组之间谈论，这些点的横坐标，纵坐标与函数表达式之间的关系？ 设计意图：学生通过实践讨论可以发现表达式与图象之间的关系，教师可在多媒体上展示图象的描绘过程，及图象上任取点与函数表达式之间的关系，使学生更能直观感受到函数是一个动态的变化。

追问：思考怎样判断某个点是否在函数图象上。

设计意图：进一步通过表达式与图象之间的关系出发，加深对这一一对应关系的理解，切实体会到函数表达式上，每组相应的x、y在图象上以（x，y）点的形式存在，所以判断一个点是否在函数图象上，只需把这个点的横坐标代到表达式中x的位置，把纵坐标代到表达式中y的位置，只要能使表达式成立，就说明该点在该函数图象上，反之，则点不在函数图象上。

操作题2：请同学们把y=x，y=3x，y=-2x，y=-4x的图象画在同一坐标系上。

设计意图：在上一题中，学生对正比例函数图象的做法有了一定的掌握，并且对正比例函数图象的特点有了浅显的认识，在这基础上，进一步研究，表达式中k对函数图象的影响，这道题教师在学生画完时，可以通过多媒体一一用动态演示出来，并加以强调学生对函数图象及表达式之间一一对应关系。

问题2：观察这四个图象，你有什么发现？ 设计意图：学生在谈论对比后不难发现图象的特征，学生在对比探讨中不难发现k的符号一样，直线的方向就一样，k的绝对值越大直线越陡，正比例函数图象都经过原点，这几个较为明显的特点，这时教师在学生回答完毕后应进行归纳总结，本题使学生在动手的过程中发现正比例函数解析式和图象的规律，在讨论中更加深入了解函数图象的性质。

三、练习巩固 问题1：在正比例函数y=-2.5x的图象上，你能说出五个该函数图象上的点吗？ 设计意图：复习，加深对函数图象与表达式之间一一对应关系，检测学生对于该类型题目的掌握情况。

问题2：画出下列正比例函数的图象：y=4x;y=23x;y=-?23x。

设计意图：加深对函数图象的做法及正比例函数图象的特点的认识，及对k在函数表达式中的大小及正负值对正比例函数图象的影响。

问题3：关于函数y=7x中，若、是确定的，那么当时，对应的函数值与 的关系是( )A. B. C. D. 无法确定 设计意图：该题主要检验函数图象的性质，当k>0时函数的值y是随着x的增大而增大，在本题的基础上，可以进行追问，把表达式中的k换成一个负值，让学生继续探讨。

四、思考 问题：有无更简单的方法来作图。

设计意图：本环节可以做个拓展，引导学生正比例函数是直线，学生在学习两点之间有且仅有一条直线的知识基础上，可以想到只要确定两点就能画出相应正比例函数图象。

五、课时小结 问题：本节课你学习到了什么？谈谈自己的感受。

设计意图：学生在思考的同时对本节课有了一定的总结，教师再进行梳理，使知识系统化。

3.3.2 一次函数图象（2） 本节课上，在研究k对函数图象的影响基础上，进一步对表达式中的b进行研究，使学生切实体会到函数表达式中各个字母对函数图象的影响。基于以上问题，设计如下教学设计。

教学目标：理解一次函数图象性质；
通过实践与讨论，掌握解决问题的方法；
应激发学生学习兴趣，培养数学思维和实践能力。

重点与难点：重点：理解，掌握一次函数的图象性质；
难点：能够根据图象性质解决相应问题。

教学过程如下：
一、 复习旧知 问题：画图的步骤？函数表达式与图象之间什么关系？k对函数图象有什么影响？ 设计意图：引导学生复习上节课的知识，对学生的掌握情况有个反馈。

二、创设情境，导入新课 展示一些与实际生活息息相关的图片（如心电图，弹簧长度与物体重量的关系图等）。

设计意图：通过从生活中的常见例子中引入新的知识，让学生发现规律，并且理解这些规律可以使人们做出合理的决定或预测，使学生认识到学习好数学知识在生活中具有很大的用途，并激发了学生的好奇心，增加学习兴趣。

三、探究与合作 操作题1：把y=2x+3;y=-x;y=-x+3;y=5x-2画在同一坐标上，观察回答问题。

问题1：观察图象，想一想上节课正比例函数的特点在这里存不存在？ 设计意图：通过上节课所学的画图步骤，学生在画出以上函数图象时，不难发现，一次函数图象依然时一条直线，所以正比例函数图象的性质依旧存在，k对一次函数图象的影响和对正比例函数图像的影响一样。

追问：有什么特点是不一样的呢？ 设计意图：学生会发现一次函数图象不一定都经过原点，这就与正比例函数图象的特点存在差异。

操作题2：把y=2x+1,y=2x+6画在同一坐标轴上。

设计意图：本题在控制所有字母相同，仅有b位置不同的情况下，让学生观察b对函数图象的影响，明白正比例函数图象与一次函数的图象之间差异形成的原因。

问题2：两图象有什么不同处？造成这样差异的是什么因素？ 设计意图：在通过只要b不一样的情况下，图象的大致形状没有发生变化，而是向上下进行平移。

问题3：根据以上画出的图象观察总结b对图象的影响？ 设计意图：通过观察不同的图象，在学生进行总结后，教师应对学生的总结进行修改补充：在一次函数中，当时，y随x的增大而增大，当b0时，直线必过一、二、三象限；
当b0时，直线必过一、三、四象限；
当时，y随x的增大而减小，当b0时，直线必过一、二、四象限；
当b0时，直线必过二、三、四象限。

四、例题探究 例一、110米栏比赛中甲乙两位运动员所跑的路程s（米）和所用时间t（秒）的函数图象如下。

问题1：哪位选手跑得最快？请用刚学的知识解释？ 设计意图：通过讨论熟悉的实际问题，学生认识到不同的函数图像具有不同的倾斜度，并且函数值值增加或减少的速度不同，为进一步探索函数图像的性质铺平了道路。

例二、（1）作出一次函数y=12x，y=2x和y=4x的图象，观察图象，哪个与x轴正方向所成的角最大？哪个函数的值先到达10？思考是什么影响了与x轴正方向所成角的大小？（2）直线与的位置关系如何？（3）直线与的位置关系如何？ 设计意图: 在初步研究的基础上，继续研究影响两直线位置关系的因素，及函数图象与x轴所形成的锐角大小与什么因素有关。进一步深入对一次函数图象特点的认识。

追问：通过上面的练习，讨论一下两条直线的位置关系与什么有关。

设计意图：通过以上图象学生进行观察总结，教师进行完善引导：1、两直线；
k相等,b不同，平行关系；
k相等，b相等，重合关系；
k不等，相交关系。2、k的绝对值越大，与x轴所成锐角越大，倾斜度越大；
使学生进一步深入对函数图象特点的认识。

五、练习巩固 问题1：判断下列各组直线的位置关系：（A）y=x与y=x-1；
（B）y=3x+1与y=-x+3。

设计意图：学以致用，加深如何判断两直线位置关系的理解，检测学生对知识的掌握情况。

问题2：求与直线y=2x+3平行且经过原点的直线，该直线关系式为 。

设计意图：了解学生对知识的掌握情况。

问题3：一次函数y=x-1的图象经过的象限是 。

设计意图：函数表达式与图像的关系，及b的正负值函数图象所经过的象限。

问题4：分别写出k的两个值，使相应的一次函数y=kx-2的值都是随x值的增大而减小；
相应的一次函数y=(2k-1)x+2的值都是随x的增大而减小。

设计意图：再次使学生深刻体会到函数图象是一个动态的变化过程，体会一次函数表达式中字母对图像变化的影响。

六、课时小结 对一次函数图象性质进行小结，用类比思想把一次函数图象性质同正比例函数图象性质进行对比。

设计意图：引导学生对本节课进行总结。

3.4 一次函数的应用 该部分主要是运用一次函数的图象及其性质来解决实际问题，其中，培养学生从问题情境中提取关键信息，利用函数性质解决问题的能力尤其关键，使学生能够根据不同问题情境，体会函数在该题的应用。

3.4.1 一次函数的应用（1） 本课主要指导学生将一次函数的知识应用到解决实际问题中，并不断加深一次函数表达式与函数图像之间的关系及其性质，以及一次函数与一元一次方程之间的关系，带着这些问题，进行了如下教学设计。

教学目标：学会用待定系数法求解一次函数表达式；
在研究和讨论问题的过程中，发展学生解决问题的能力和数形结合思想；
激发学生学习兴趣，发现多项思维能力。

重点与难点：重点：结合函数解析式与图象解决问题；
难点：灵活运用函数图象的特点。

教学过程如下：
一、温故知新 问题：一次函数的性质？ 设计意图：回顾一次函数相关知识，调起学生的知识储备，为本节课提供帮助，有利于促进学生知识系统的构建。

二、问题导入 一小球从一个斜坡滚下来，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒 )的关系如下图。

问题：通过这个图象我们可以知道v和t满足什么函数？通过图象我们可以知道t=2时，v=？怎么求v与t的关系式呢? 那当t=3时，v为多少呢？ 设计意图：问题难度逐步加深，一步步引导学生如何用一次函数解决实际问题，利用题目所给条件，再根据解方程知识，学生初步了解待定系数法，体会到用一次函数解决实际问题的方法。

追问：确定正比例函数和一次函数的表达式各需要几个条件？ 设计意图：该问题使学生思考正比例函数只有一个基本量k，所以只需要一个条件，一次函数有两个基本量、，需要两个条件来确定。

三、问题探究 例1 弹簧自然长14.5cm；
挂3kg的重物时，弹簧长16cm。在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数， y与x之间的关系式为？求所挂重物质量为4kg时弹簧的长度？ 解：设，根据题意，得 14.5=， ① 16=3+，② 将代入②，得， 所以在弹性限度内，， 当时，（厘米）。

即物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米。

设计意图：该例子选取的是一个弹簧的物理现象，与生活贴近，有利于学生在不同的问题情境中能够获取信息，并且再一次让学生了解到待定系数法的运用。

追问：根据两道题，你能否总结出求一次函数表达式的步骤？ 设计意图：使学生观察总结解题规律，发现运用待定系数法求解析式的一般步骤1、设一次函数表达式；
2、根据已知条件代入相应位置；
3、解方程；
4、把求出的k，b值代回到表达式中。

例二、在旱期，某水库的蓄水量与时间的关系如下图，蓄水量(万米3) 与干旱持续时间(天)。（1）水库干旱前的蓄水量是多少？(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？连续干旱23天呢？(3)当蓄水量小于400万米3时，会发出严重的干旱警报，多少天后将发出严重干旱警报？(4)根据图象，预判持续干旱多少天水库将干涸？ 设计意图：培养学生结合函数图像和性质，从图像中提取有用的信息，并能够结合实际问题理解特定问题上，函数图像上各点的含义，根据待定系数法确定函数的表达式，在这里，教师应强调自变量的取值范围，并引导学生形成对取值范围的认识。

四、反馈练习 问题1：如图，直线是一次函数的图象；
（1）求该函数表达式；
（2）A（-4，12），B（3，-9）两点是否在该函数图象上？ 设计意图：加深对待定系数法的掌握，再次使学生理解函数表达式中x与y在函数图象中是以点（x，y）的形式存在，并且存在一一对应关系。

问题2：看图填空(1)当时，;(2)该函数的表达式是________________。

设计意图：根据图象能够提取有用信息，根据两个条件就能确定一次函数的表达式出发，只要知道图象的两个点就能求出该函数的表达式，提高学生解决问题的能力。

问题3：一元一次方程与一次函数有什么联系？ 设计意图：
是的特殊情况，一元一次方程的解为，一次函数包括许多点，该题是一次函数与一元一次方程的关系研究，使学生明确两者之间的关系。

问题4：求与直线y=-2x平行，且与y轴交于点（0，2）的直线的表达式。

设计意图：提供反馈，帮助学生掌握如何找到函数表达式，教师可以指导学生进行分析，通过图象解决问题。

五、课时小结 指导学生总结本课的知识点和数学方法，并将感性知识提升为理性知识。

设计意图：
学生对知识梳理的同时会再次对知识进行巩固。

3.4.2 一次函数的应用（2） 本小节再次对一次函数的应用进行深入学习，对于复杂情境如何从中提取关键信息？并且如何运用一次函数的相关知识来解决问题？针对这些问题，撰写如下教学设计。

教学目标：进一步掌握图象解决一次函数的问题；
在解决实际问题的过程中，发展学生解决问题的能力；
要培养学生的数形结合的思想，并体会到数学与生活之间的联系。

重点与难点：重点：一次函数图象的应用；
难点：从函数图象中正确读取信息。

教学过程如下：
一、引入新知 一农民带了些零钱到城里卖土豆，降价出售,售出的土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系,如图所示,结合图象回答下列问题。

问题：(1)农民自带的零钱是多少?(2)求降价前 与 之间的关系？(3)求出降价前每千克的土豆价格是多少?(4)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱)是26元,试问他一共带了多少千克土豆? 设计意图：通过图象解一次函数的题，与上节课的知识点进行连接，并在此基础上问题进一步加深，提高学生解决问题的能力及对一次函数图象在实际问题中所表达的含义再次进行练习。

二、问题探究 收到近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶的情报。边防局迅速派出快艇B追赶。下图中，l1,l2分别表示两船相对于海岸的距离s (n mile)与追赶时间t ( min)之间的关系。

问题：(1)哪条线表示快艇B?(2)A,B哪个速度快?(3)15min内B能否追上A?(4)如果一直追下去，那么B能否追上A?(4)两个一次函数中，k1，k2的实际意义各是什么?可疑船只A与快艇B的速度各是多少? 设计意图：根据一系列问题，问题难度由简及难，锻炼学生解决问题的能力，及加深学生对函数表达式与图象之间的联系，应用函数解决实际问题，巩固知识点。

三、反馈练习 问题1：甲、乙两人各自不同时间出发，沿同一条路从A地到B地，下图中l1、l2 分别表示两人出发的时间与A地之间距离的关系图。

(1)A与B的距离？(2)乙离开多久后两人相遇？(3)甲、乙的速度分别是？ 设计意图：根据图象结合实际问题研究图象上的点在实际问题情境中所表达的含义，提高学生数形结合能力，及解题能力。

问题2：学校准备给学生定中考练习卷，已知甲、乙两家书店优惠方案如下：甲书店该书以15元一本价格出售，乙书店满50本赠送一本，每本价格为16.5元。若学校要购置x本，应支出y元。（1）分别写出甲乙两店x与y之间的关系。（2）若学校打算购买1250份，应到哪家店购买划算？ 设计意图：检测学生的识图能力，加强巩固，培养学生在复杂的问题情境中提取关键信息，发展学生逻辑思维，解题能力，及数形结合思想。

四、课时小结 引导学生自己小结,并谈谈自己的收获。

设计意图：对所学知识进行疏导，建立知识结构体系，提高学生学习成就感，增强学习自信心。

参 考 文 献 [1]焦倩玉. 一次函数的教与学研究[D].苏州大学,2014. [2]张建华. 初中生一次函数教学研究[D].河北师范大学,2017 [3]朱文芳,林崇德.初中生函数概念发展的特点[J].心理科学,2000(05):517-521+636. [4]陈玲. 初中教材函数内容的比较研究[D].南京师范大学,2017. [5]石江娜. 基于初中生一次函数认知水平的教与学研究[D].西华师范大学,2016. [6]曾山. 初中函数的教学设计[D].华中师范大学,2007. [7]戴旭. 八年级学生一次函数学习存在的问题及原因分析[D].渤海大学,2017.